三角函数

三角函数是数学中重要的基本函数，广泛应用于几何、物理、工程等领域。

基本概念

角的度量

角度制：一个圆周为 360°
弧度制：一个圆周为 2π 弧度
转换关系：$180° = \pi$ 弧度，即 $1° = \frac{\pi}{180}$ 弧度

单位圆中的三角函数

在单位圆（半径为1的圆）中，对于角 $\theta$：

$\sin \theta$ = y 坐标
$\cos \theta$ = x 坐标
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ （当 $\cos \theta \neq 0$ 时）

六个基本三角函数

正弦函数：$\sin \theta$
余弦函数：$\cos \theta$
正切函数：$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
余切函数：$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
正割函数：$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$
余割函数：$\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$

基本性质

定义域和值域

$\sin \theta$：定义域 $\mathbb{R}$，值域 $[-1, 1]$
$\cos \theta$：定义域 $\mathbb{R}$，值域 $[-1, 1]$
$\tan \theta$：定义域 $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$，值域 $\mathbb{R}$

周期性

$\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta$
$\cos(\theta + 2\pi) = \cos \theta$
$\tan(\theta + \pi) = \tan \theta$

奇偶性

$\sin(-\theta) = -\sin \theta$（奇函数）
$\cos(-\theta) = \cos \theta$（偶函数）
$\tan(-\theta) = -\tan \theta$（奇函数）

重要的三角恒等式

基本恒等式

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$$$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$$$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

和差公式

$$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$$$$\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$$$$\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$$

二倍角公式

$$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$$$$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$$$$\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

半角公式

$$\sin \frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$$$\cos \frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$$$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$$

积化和差公式

$$\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$$$$\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]$$$$\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$$

和差化积公式

$$\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$$$\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$$$\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$$$\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$

特殊角的三角函数值

角度	0°	30°	45°	60°	90°
弧度	0	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\sin$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
$\cos$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
$\tan$	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	未定义

应用示例

三角形中的应用

在任意三角形 ABC 中：

正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

波动现象

三角函数常用于描述周期性现象，如：

$$y = A\sin(\omega t + \phi)$$

其中 A 为振幅，$\omega$ 为角频率，$\phi$ 为初相位。

学习要点

熟记特殊角的三角函数值
掌握基本恒等式的应用
理解三角函数的几何意义
练习三角恒等式的证明和化简
学会解三角方程和三角不等式